認知とは

「親が子を認知する」とは具体的には、認知届けを父親or子の本籍地の市区町村役所に認知届けを提出するということです。
父親が母親と結婚していない状態で生まれてきた子※（非嫡出子）を、自分の子として認知すると、出生時に遡って法律上の親子関係が成立し、様々な権利や義務が発生します。
義務の具体的な例は養育費の支払い。権利の具体的な例は父親が死亡した時の相続人になること等です。
「子供はママが大好き！」ってことで基本的には親権は母親、ただし父親と母親で協議し「親権管理届」を提出すれば父親が親権者になり得ます。
母親に生活力がない場合や、だらしない場合ですかね..ネグレクト（育児放棄）されたら困っちゃいますもん。

認知の種類

非嫡出子を「こいつは俺の子や！」と認めるのが任意認知です。認知届を役所に提出してください。基本、母親や子の同意は必要ありません。
だって子の権利を害することが無いですもん。「父ちゃん好きなだけ養育費払ってくれたらえーやん」「死んだら相続させてね」って感じです。
しかし、子が成人している場合、子本人の同意が必要です。だって成人するまでほっといて、「俺はお前の父ちゃんだー」は虫が良すぎます。
老後の面倒を見てもらいたいだけかもしれませんし、子供がお金持ちになっている場合は財産目当てかもしれません（子が先に死亡した場合の相続人になってしまう可能性もある）
成人した子にとっての認知は、損はあっても得が無いかもしれませんからね..
次は強制認知、「この子は俺の子ではない！」と父親が責任逃れするケースです。
これにはホントムカつきますよね..
子本人or母親が「養育費払えやー」と父親の住所地の家庭裁判所or当事者が合意で定める家庭裁判所に「認知調停申立書」を提出します。
まあ子供は幼いことが予想されるのでだいたいは母親(法定代理人)ですね。
子供の権利を守るためにこう言った決まりがあるのですね。

調停→訴訟の順でいきなり訴訟することはできません（このことを調停前置主義）
まずは話し合いしましょうってこと

嫡出子と非嫡出子

嫡出子とは婚姻状態にある両親から出生した子。
非嫡出子とは婚姻状態に無い男女から出生した子。
平成２５年１２月５日の民法９００条の規定改正以前、非嫡出子は嫡出子の1/2しか法定相続分がなかった。
法の下の平等を定める憲法１４条１項に違反していたとの決定を受け改正されました。
子の立場から見れば、今更かよ！という感じの改正ですね。

婚外子とは

結婚状態に無い男女から出生した子のこと。
非嫡出子と同じ意味です。
2004年11月、戸籍法施行規則が改正され、婚外子の戸籍の続柄欄の記載方法が改められました。
法務省が方針転換した背景には、「一見して非嫡出子と分かる記載方法はプライバシー権の侵害である。」と指摘した、04年3月2日の東京地裁判決。
それまでは嫡出子と区別して、非嫡出子は「男」「女」と表記されていたけど、嫡出子と同じく「長男」「二女」などと記載されることとなりました。

戦前では日本でも非嫡出子は7%〜10%いたようです（戦後は2%程度）
世界的には、スウェーデン，デンマークなどの北欧でその出生率が高く、米国、フランス、英国、カナダなどの先進国では増加傾向にあるようです。こうした国ごとの出生率の違いは，妊娠と結婚に対する考え方の違いによるところが大きいようです。
そういった国では、子どもの権利が害されないように、より子供の権利を守るための仕組みがあるようです。

全血兄弟、半血兄弟（異母兄弟）とは？

全血兄弟姉妹とは、父親と母親が同じである兄弟姉妹のことで、半血兄弟姉妹とは父親あるいは母親の一方だけが同じである兄弟姉妹（異父・異母兄弟）のことです。
早い話、ハラ違いの兄弟のことです。
父親や母親が亡くなった場合の相続においては、全血であろうと半血であろうと共同相続人である兄弟姉妹との間に相続分の区別はありません。
しかし、死んだ人（被相続人）に子供がおらず、親や祖父（直系尊属）も既に亡くなってしまっている場合は、被相続人の兄弟姉妹が同順位で相続することになりますが、民法第900条4項の規定により全血兄弟姉妹と半血兄弟姉妹の相続割合は異なる扱いを受けます。

まとめると、亡くなった人に子供や孫がいなくて、親とかおじいちゃんも亡くなっていたら、残った兄弟で遺産を分けなさいね！ってことですけど、ハラ違いの兄弟の取り分は、半分になるよって話です。
時折、半血の兄弟姉妹には相続権がないと誤解されている方がいらっしゃいますが、相続分に違いはあるにせよ、相続権のある半血兄弟姉妹が参加しない遺産分割協議は無効となりますので注意する必要があります。

隠し子の発覚

関連する話として遺産相続の際、隠し子の存在が発覚するケースです。
隠し子には、ずっと隠れていてほしいものですが..
相続が発生するとそういう訳にはいきません。
遺産相続が始まると、遺言書の存在を調査するとともに、相続人の範囲の確認も迅速に行わなければなりません。なぜなら借金を相続してしまうこともあるからです。（相続放棄は、自己のために相続があったことを知ってから３ヶ月以内に行わなくてはなりません。）
相続人が誰なのかが分かっていなければ、遺産分割ができません。
遺産相続の遺産分割協議には、相続人が全員参加して話し合うことが必要です。相続人が一人でも欠けていると遺産分割協議は成立しませんので、相続人全員が確実に遺産分割協議に参加するためには、相続人が誰なのかを確認する必要があります。
遺産相続の相続人には、養子縁組を結んでいる養子も数えられます。被相続人が家族には内緒で養子縁組を結んでいる可能性もあり(そんなことも実際あり得るんです)、その場合は家庭外に相続人がいることになります。以前にも結婚しており、その時にもうけた子どもがいる場合にも同じです。（前記の異父、異母兄弟ですね）
認知をした隠し子も勿論、相続人です。相続人調査は必ず行うようにしたほうが良いです。「じゃあどうやって調査するんだっ！？」て話になると思いますが、役所に行って聞きましょうw
自分でやるのが面倒（不安）な人は行政書士や司法書士に依頼することをお勧めしますが、参考まで下記に記載してみます。

戸籍の追跡調査

まずは、被相続人の最後の本籍地で戸籍や除籍を取得することからスタートします。戸籍には従前の戸籍や除籍、または改製原戸籍の情報があるはずですので、それに従って戸籍を取得します。仮に、遠方なら郵送で請求できます。
作業を繰り返していくと、戸籍はだんだんと出生時のものに近付いていきます。被相続人の出生の記載がある戸籍が出てくるまで追跡したら、取得した戸籍を隅から隅まで確認し、相続人となり得る人が他にいるかを確認します。
確かに自分たちだけであれば一安心ですし、もし知らない相続人が確認されたなら、その人と速やかに連絡を取らなければなりません。（隠し子とか連絡しづらそう..）
戸籍の確認がすべて終了したら、相続人の関係性を図にして表した「相続関係説明図」を作成しておきましょう。相続人の関係が一目で確認しやすく、情報の整理にもなります。相続関係説明図は、財産の名義変更手続きや申立てなどで提出を求められる場合があるようです。

認知された子に相続させたくない！

果たしてこんなことが可能なのでしょうか？
認知された子に３ヶ月以内に相続放棄をしてもらいましょう
ただし、放棄は自分の意思でする必要があるので、あまり現実的ではありません。
強要しては、ダメ絶対！
あとは相続分の譲渡をしてもらう（対価を支払う必要はあると思いますが）でしょうか。

まとめ

認知した子がいるあなた！！
生きている間に白状しましょう！もしくは遺言書を残しておきましょう！
そうすれば突然増える相続人に家族が頭を悩ませることもありません。
遺言書の書き方にも色々と方法がありますので、行政書士や司法書士に相談することをオススメします。